有限差分法、有限元法与有限体积法

有限差分法的英文是:Finite Difference Method。

有限元法的英文是:Finite Element Method。

有限体积法的英文是:Finite Volume Method,我见过有人管它叫“积分的有限差分法”。

有限差分法是基于数学的直觉,用差商代替微商。

有限体积法是基于物理的直觉,质量守衡,Q (in) = Q (out)。

经典的有限元法跟直觉无关,它是从物理上的最小势能原理出发,利用数学上的变分法推导出泛函数,然后离散求解。

中国的冯康先生当年曾独立发展了这种有限元法,用在刘家峡水库大坝的计算上,于1965年发表了论文“基于变分原理的差分格式”。但是,这个被邱成桐称为“中国近代数学能够超越西方或与之并驾齐驱”的三个工作之一的成果,只被评了1982年国家自然科学二等奖,可见我国的科技水平有多“高”!

而现代的有限元法,则是属于权重残差法里的一员。它利用伽辽金法,从权重残差的角度导出离散公式。为什么要这样呢?

这是因为:不是每种待解问题都存在泛函数的。但是对于存在泛函的问题中,人们发现用伽辽金法导出的离散公式与用变分法导出的离散公式形式竟然上是相同的。神奇吧!维基百科这样说的:In principle, it is the equivalent of applying the method of variation to a function space, by converting the equation to a weak formulation.

使用上来说,有限差分法是应用最广泛、最成熟的,它的优、缺点都一目了然的。

对于固体问题,有限元法是合理的选择,毕竟有限元法就是由土木工程师发明出来给自己用的。

对于流体问题,有限体积法更合适一些。这是因为对于流体问题来说,保证质量守恒是最重要的,而这是有限体积法的先天优势。

不过现在已经有了质量守恒的有限元法了,就象对于迎风格式,有限元法也能克服一样。

原来,我觉得有限元法或有限体积法很高级。现在,我则觉得有限差分法最实用:)

不过,对于岩石破碎、浪花、湍流等自然现象,这三种基于欧拉描述的离散方法就无能为力了,这时要用拉格朗日法了。

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4 Responses to 有限差分法、有限元法与有限体积法

  1. JF说道:

    哥唉,整点大众文学成吗?俗的,特俗的!

  2. CHUNSHUI说道:

    俗了大家一看就懂,那我怎么混饭吃啊:)

  3. 说道:

    哥们就喜欢俗的。

  4. 贝贝说道:

    FEM!!!

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